☛ Dérivée d'une fonction composée avec cosinus et sinus

Propriété

Soit $u$  une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ ,  alors les fonctions $\cos (u)$  et $\sin (u)$  sont dérivables sur $I$  et on a :

• $(\cos (u){)}^{\prime }=-u^{\prime }\sin (u)$
  
• $(\sin (u){)}^{\prime }=u^{\prime }\cos (u)$ .
  

Démonstration

Il s'agit d'un cas particulier de la propriété sur la dérivée d'une composée.
Par exemple,  $\cos (u)=v\circ u$  où  $v$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$  par  $v(x)=\cos (x)$ .
Pour tout réel $x$ , on a $v^{\prime }(x)=-\sin (x)$ .
Enfin  $(v\circ u{)}^{\prime }=u^{\prime }\times (v^{\prime }\circ u)$ d'où le résultat.

 Énoncé

On considère la fonction $f$  définie sur $\mathbb{R}$  par $f(x)=\cos (x^2+1)$ . Calculer $f^{\prime }(x)$ .

Solution

$f$  est dérivable sur $\mathbb{R}$ .
On pose  $u$ tel que $u(x)=x^2+1$ alors $u^{\prime }(x)=2x$ .
$f^{\prime }(x)=-2x\sin (x^2+1)$ .